一、为什么引入B样条

Runge现象

二、样条的来源

三、B样条简史

均匀节点意义下的一元B样条(B-splines，Basis Splines缩写)是在1946年由I.J.Schoenberg系统提出的. Scheonberg提出了样条函数的概念，并指出了样条函数非常重要的四种观点: Fourier变换、截断多项式的差商、力学观点以及概率密度函数的观点。

[1] l.J.Schoenberg,Contributions to the problem of approximation of equidistant databy analytic functions,Quart. Appl. Math. 4(1946) 45-99,112-141.

非均匀节点定义的B样条由Curry在1947年提出.

在上个世纪60年代开始，美国General Motors Research labs的数学家Carl de Boor利用B-样条作为工具研究几何表示.1972年,de Boor给出了一种计算B样条曲线上点的迭代方法，即著名的de Boor算法[3].

[2] H.Curry. Review. Math. Tables Aids Comput.，2:167-169,211-213，1947. [3] C. de Boor. On calculating with B-splines. J.Approx.Theory,6(1):50-62,1972.

1972年，de Boor与Cox分别独立提出了计算B样条基函数的公式，这个公式对B样条作为CAGD重要工具起到了至关重要的作用，称之为de Boor-Cox公式。在此之前，计算B样条基函数大多用差分方法计算，数值上可能不稳定。

[4] M.Cox. The numerical evaluation of B-splines. J Inst. Maths. Applics.10:134-149，1972.

5.样条函数在逼近论中用重要的作用，但是对CAGD而言，参数曲线曲面表示就更加重要。1974年，在Schoenberg工作的基础上,Gordon与Riesenfeld引入了B-Spline曲线曲面，并给出了大量的几何算法，这个工作也是Riesenfeld博士论文[5]的核心。他们指出，de Boor算法是de Casteljau算法的推广形式.

[5] R.Riesenfeld. Applications of B-spline approximation to geometric problems of computer-aided design. PhD thesis,Dept. of Computer Science,Syracuse Univ, 1973. [6] W.Gordon and R.Riesenfeld. B-spline curves and surfaces. In R.E. Barnhill and R.F. Riesenfeld,editors,Computer Aided Geometric Design，pages 95-126. Academic Press,1974.

6.1975年，王仁宏教授[7]提出了研究多元样条的光滑余因子方法，这是一种代数几何方法，被国际上称为研究样条的三大流派之一。

[7] 王仁宏,多元齿的结构与插值,数学学报，1975,18，91-106.

7.B样条保持了Bézier曲线曲面的所有有点，并克服了它们的缺点. Boehm[8]是第一位给出B样条到Bézier转化关系的学者。随后，一些相关算法大量涌现，期中包括著名的Boehm节点插入算法[9]，以及Cohen,Lyche与Riesenfeld提出的Oslo算 法[10].

[8] W. Boehm. Cubic B-spline curves and surfaces in computer aided geometric design.Computing,19(1): 29-34,1977. [9] W. Boehm. Inserting new knots into B-spline curves. Computer Aided Design,12(4): 199-201，1980. [10] E.Cohen，T.Lyche, and R. Riesenfeld. Discrete B-splines and subdivision techniques in computer aided geometric design and computer graphics. Comp.Graphics and Image Process.，14(2): 87-111，1980.

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